المنحنيات والسطوح في R^3 في (The curves and the Surfaces in R^3)
Loading...
Date
2018-07-04
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
في الفصل الأول درسنا مفاهيم المنحنيات, وأنواع التمثيل البارامتري, وأيضا طول القوس المنحنى. ثم تم إيجاد خطوط الثلاثة المتعامدة , وكذلك المستويات الثلاثة. ثم تطرقنا لإيجاد إنحناء والإلتواء للمنحنى ,وتحقيق صيغ سيريه-فرينيه .
في الفصل الثاني درسنا مفاهيم عدد من السطوح, والتمثيل البارامتري المنتظم للسطح وكذلك المستوى المماس والعمودي للسطح. وتم تعيين السطح في الفضاء بطريقة وحيدة بكميات مستقرة تسمي الصيغة الأساسية الأولى (الشكل التربيعي الأول)، والتطرق لتطبيقاتها وهي إيجاد طول قوس منحنى على السطح, و مساحة السطح. وكذلك الصيغة الأساسية الثانية (الشكل التربيعي الثانية). كما تم إيجاد الإنحناء العمودي والانحناءات الأساسية, وكذلك الإنحناء (المتوسط والجاوسي ) وذلك بدلالة الصيغة الأول والثانية الأساسية.
Description
الهندسة التفاضلية فرع من فروع الهندسة يُعنى بدراسة الأشكال الهندسية, وفي مقدمتها المنحنيات، السطوح ومغلفات أسر المنحنيات والسطوح في الفضاءات الإقليدية وللإقليدية استناداً إلى طرائق التحليل الرياضي وفي مقدمتها حساب التفاضل، ويتم التركيز خصوصاً على الخصائص التفاضلية للأشكال الهندسية وهي الخصائص اللامتغيرة بالنسبة للحركة.
لقد ارتبط ظهور الهندسة التفاضلية ارتباطاً وثيقاً بظهور وتطور مفهوم الإحداثيات في النصف الأول من القرن 17م على يد العالمين ديكارت وفيرما. كما أضاف نيوتن وليبنز بعض المفاهيم المندرجة ضمن الهندسة التفاضلية كالمماس, التماس, التقوس.
في القرن 18م على يد أولر ظهرت فكرة تعيّن التمثيل البارامتري للمنحنى وحدد المتجهات الأساسية للسطوح, كما أدخل مفهوم الالتواء, وقد نُشر في عام 1795م أول مؤلف مجمل في الهندسة التفاضلية أعده مانج. وفي عام 1827م قام غاوس في مؤلفه "دراسة عامة للسطوح المنحنية" بصياغة وتطوير مفهوم هندسة السطوح. كما أوجد صيغتين الأساسيتين الأول والثاني للسطح، وأثبت أن التقوس التام للسطح ينتمي إلى الهندسة الداخلية.
كما تختص الهندسة التفاضلية الخارجية بدراسة الشكل عن بعد (خارج الشكل) أي كما يراه راصد خارج الشكل بينما الهندسة التفاضلية الذاتية (المحلية) تعني بدراسة الشكل كما يراه راصد على الشكل نفسه. نعني بالهندسة الداخلية والخارجية كل المعاني الهندسية التي ترتبط بالمشتقة الأولى والثانية على الترتيب؛ أي كيفية تحديد شكل السطح أو المنحنى أو الطريقة التي ينحنى بها, والهندسة الذاتية تهتم بالخواص التي لا تتغير على السطح تحت تأثير تحويلات التناظر الأحادي أو التساوي القياسي ويتضح ذلك في صيغ سيريه- فرينيه للمنحنى, وعلينا التعامل معها دون اعتبار للفضاء المحيط بنا.
كما تهتم الهندسة التفاضلية :
1. بالفروق الأساسية بين خواص حركة نقطة مادية وحركة جسم متماسك, وهذه الحركة لا تنتمي للفراغ الإقليدي؛ لذلك نحتاج مفاهيم هندسية غير إقليدية (هندسة تفاضلية) لوصف الهندسة المصاحبة لحركة الجسم المتماسك بغض النظر عن مسببات الحركة (هندسة فراغ الشكل الأنسان الآلي), ولهذا تُعرف الهندسة التفاضلية بأنها دراسة الأشكال والمواضيع الهندسية باستخدام حساب التفاضل و التكامل وما يرتبط بها من جبر وتوبولوجي.
2. بالدوال التي تولد عديد من الطيات (منحنى أو سطح)وهذه الدالة مجالها قد يكون مناطق بها تجاعيد أو طيات أو نقاط شاذة والتجاعيد يتم وصفها من خلال دالة تفاضلية وهي دالة الانحناء التي من خلالها نستطيع التمييز بين شكل وأخر مثل اختلاف بصمة الأصبع في الكائن الحي, حيث تتضح المنحنيات المختلفة التي تغطي السطح مثل المنحنيات البارامترية, والتقاربية, والإنحنائية, والجيوديسية وغيرها.